欧拉表述侧重于“场”，把流体的性质（质量密度、速度、温度、熵、焓，甚至单位流体中的磁通量，等等）定义为空间位置+时间的函数。通俗地说，是把空间分成一个个的小屋子，屋子的位置是不变的，流体可以自由进出这些小屋子；在计算的时候，给每个小屋子一个“门牌号”；在演化之后，我们关注的是每个门牌号的屋子里头到底在发生什么：想知道某个屋子里头长啥样，按着门牌号敲门就好。拉格朗日表述侧重于“质点”（或者叫“流体微元”），把流体的性质按着质点/流体微元，来逐个定义；定义的方法，通常是把这些性质写成初始坐标的函数——也就是说，用质点的初始坐标来描述质点。通俗地说，就是把流体划分成一个个的小包裹，包裹的位置一直在移动，大小也会变化，但流体不会穿透包裹的皮儿。一开始的时候，先给小包裹们编号；在演化之后，都是按着包裹的编号来找包裹，再拆开看里头变成啥样了。若想像欧拉表述里那样按照空间位置去找包裹，反而不太容易。诚如楼上所说，拉格朗日表述在关注流体所携带东西时特别管用，包括但不限于：雾霾粒子、河流中的泥沙、水中的气泡、风洞中的示迹的烟，乃至风中的树叶、大洋中的鱼群，如是等等——因为它们很少穿透包裹皮儿。特别地，那套 MIT 的流体力学教学视频中，用电解水的方式产生气泡，进而指示水的流动、演示流体现象——第一个发明这个演示技术的人。
在相对论流体力学中，使用拉格朗日表述，通常更为方便：因为，这时候，把每个包裹按着相对论中处理质点的方法来处理，就立即能满足“方程要有洛伦兹/庞加莱不变性”的要求；而若用欧拉表述，“坐标架子该怎么搭”，就成了一个麻烦事儿——特别是在广义相对论中：非平凡的时空几何，有时可以把这个问题下的相应计算变成一个超级噩梦。当然，您要是在稳态时空中研究自身引力可忽略的系统（比如克尔黑洞周围的吸积盘），就当我啥也没说。在宇宙的大尺度结构研究中（这时研究对象并非整个宇宙，广义相对论效应因而通常并不重要，所以，用牛顿力学就好了），若是做数值模拟，目前流行的是如此的“混合手段”：用欧拉方法处理常见的物质（所谓“重子物质”，也叫气体，它是有压强的流体），同时用拉格朗日表述下（或者，更应该称为“与拉格朗日表述具有共同精神”）的 N-体模拟的方法处理暗物质（其实就是丢了一堆只被引力影响的粒子进去：那堆暗物质粒子本身是不会产生气体一般的压强的）。若是做解析计算，则若微扰展开的阶数相同，拉格朗日方法通常会比欧拉方法更加精确（Matsubara 2008a,b）（这时候就通常只能处理暗物质了）。因为…… 好吧，一个星系团中的暗物质，差不多就是那样的一个包裹；而星系团这个包裹一旦形成了，常常也就不那么容易再散开了。
特别适用于研究流体在一定空间区域内性质的分布（出了这个区域咱不关心），如大桥周围的狂飙。这种情形下，若用拉格朗日表述，就会有这些麻烦：1. 我们会跟着一个小包裹走出很远很远，走出了我们关心的区域，却还在跟着呢；2. 大桥的牵拉钢索上的某一点受到大风的多大作用力呢——这可真麻烦，因为，不同时刻，在钢索上的那一点的包裹的编号都是不一样的（但，相对地，若用欧拉表述，那儿的“门牌号”总是一样的）。但总之，两套表述，原则上可以互相转换。当然，在更广泛的意义上，还有一些关于这两套表述的有趣事儿。胡侃开始。
