为了阐述尺规作图的可能性的充要条件，首先需要把几何问题转换成代数的语言。一个平面作图问题，前提总是给了一些平面图形，例如，点、直线、角、圆等，但是直线是由二点决定的，一个角可由其顶点和每边上取一点共三点决定的，圆由圆心和圆周的一点决定，所以平面几何作图问题总可以归结为给定n个点即n个复数(当然还有z0=1)。尺规作图过程也可以看作利用圆规和直尺不断得到新的复数，所以问题就变成为：给了一批复数和z0，能否从出发利用尺规得到预先希望得到的复数Z。为讨论方便给出如下递归定义：
定义：设S={Z0=1，Z1，... Zn}是n+1个复数，将
(1) Z0=1，Z1，... Zn叫做S-点；
(2) 过两个不同的S-点的直线叫S-直线，以一个S-点为圆心、任意两个S-点之间的距离为半径的圆叫S-圆；
(3) 由S-直线与S-直线、S-直线与S-圆、S-圆与S-圆相交的点也叫S-点。
上面这个定义完全刻画了尺规作图过程，如果以P表示全体S-点的集合，那么P也就是从S={Z0=1，Z1，... Zn}出发通过尺规作图所得到的全部复数。
定理：设Z1，... Zn(n≥0)为n个复数。设F= Q(Z1，... Zn，Z1'，... Zn')，(Z'代表共轭复数)，那么，一个复数Z可由S={Z0=1，Z1，... Zn}作出的充要条件是 Z属于F(u1，... un)。 其中u12属于F, ui2 属于F(u1，... ui-1)。换言之，Z含于F的一个2次根号扩张。
系： 设S={Z0=1，Z1，... Zn}，F= Q(Z1，... Zn，Z1'，... Zn')，Z为S-点，则 [ F(z) ：F] 是2的方幂。
以下证明三等分任意角不可能性，证明尺规作图不能三等分60度角：
证明：所谓给了60度角，相当于给了复数Z1=1/2+√3/2 i。从而S={Z0=1, Z1}，F=Q(z1, z1')=Q(√-3)。如果能作出20度角，当然也能得到cos20，但是cos20满足方程 4x3-3x-1/2=0，即8x3-6x-1=0。由于8x3-6x-1在Q[x]中不可约，从而[Q(cos20)：Q]=3，于是
6=[ Q(cos20, √-3)：Q] = [F(cos20)：Q]=[F(cos20)：F] [F：Q]
由于[F：Q]=[Q(√-3)：Q]=2，所以[F(cos20)：F]=3，根据上面的系可知cos20不是S-点 ，从而20度不可能三等分。 证毕
