求z=f(x,y^2,t(x^x,y))的偏导数

Question

如题所述

Answer 1

先求x^x对x的导数，x^x=e^(xlnx)
(x^x)'=(e^(xlnx))'=e^(xlnx)*(lnx+1)=x^x(lnx+1)
下面求偏导数，用d表示偏导符号，f后面的数字是下标
dz/dx=f1'+f3't1'*(x^x)'=f1'+x^x(lnx+1)f3't1'
dz/dy=f2'*2y+f3'*t2'=2yf2'+f3't2'追问

dz/dx=f1'+f3't1'*(x^x)'=f1'+x^x(lnx+1)f3't1'
dz/dy=f2'*2y+f3'*t2'=2yf2'+f3't2' 这里能不能再具体点？为什么是这样的？

追答

这就是复合函数求偏导的法则，看来你还是要好好看看书。
大体上是这样的，z对x求偏导=f 对每一个中间变量求偏导，再乘以中间变量对自变量的偏导数
先讲dz/dx=f1'+f3't1'*(x^x)'=f1'+x^x(lnx+1)f3't1'
1、f 对第一个中间变量求偏导，这就是f1'，然后乘以中间变量对x的偏导，由于中间变量就是x，求导结果为1，因此第一项为f1'；
2、f 对第二个中间变量求偏导，应该是f2'，然后乘以中间变量对x的偏导，由于中间变量就是y^2，与x无关，求导结果为0，因此第二项为0；
3、f 对第三个中间变量求偏导，应该是f3'，然后乘以中间变量对x的偏导，由于中间变量就是t(x^x，y)，又是一个复合函数，继续运用刚才的原则，t 对第一个中间变量求偏导，这就是t1'，然后乘以中间变量对x的偏导，由于中间变量就是x^x，求导结果为x^x(lnx+1)，因此第三项为f3't1'x^x(lnx+1)；（原本还要考虑 t 对第二个中间变量求偏导，但此处不需要了，因为第二个中间变量y与x无关）

下面你按这个原则自己分析一下dz/dy=f2'*2y+f3'*t2'=2yf2'+f3't2'，这个一定要会自己分析。