若两个函数互为反函数，则它们的单调性是否都相同

Question

如题所述

Answer 1

注意：它们可能根本没有单调性。
例如：y = x, x为有理数； y= - x， x为无理数
反函数还是它本身，没有单调性。
如果已知是单调的，反函数与它本来的函数单调性是相同的。

Answer 2

单调性相同追问

说明理由

追答

算了，今天心情不好就来做点数学消愁吧
设f为A到B的连续单调函数，且一阶导数不为0
g为f的反函数即g=f^-1,g为B到A的函数
设y=f(x),根据题设,x=g(y)
根据导数的定义g'(y)= lim (g(b)-g(y))/(b-y) (b趋向于y) 且b属于集合B,则在A中存在a,使得f(a)=b
所以g'(y)= lim (g(f(a))-g(f(x)))/(f(a)-f(x)) (a趋向于x)
(因为是连续函数，所以有y=f(x)=lim f(a) (a趋向于x) )
（然后根据复合函数极限定理，我们可以把极限中变量由b变成a）
因为g与f为反函数,所以g(f(a))=a
得到g'(y)= lim (a-x)/(f(a)-f(x)) (a趋向于x)
得到g'(y)= lim 1/((f(a)-f(x))/(a-x)) (a趋向于x)
根据定义f'(x)= lim (f(a)-f(x))/(a-x) (a趋向于x)
于是g'(y)=1/f'(x)
根据题设，f为单调函数且一阶导数不为零，由此可见g'(y)有定义，与f'(x)同号
所以g与f单调性相同
整毕

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