数论证明整除问题

证明对于任何正整数k
2^(6k+1)+3^(6k+1)+5^6k+1能被7整除
刚学数论，不知这类题目有没有什么常规方法

推荐答案 2012-01-27

2^(6k+1)+3^(6k+1)+5^6k+1
=2(2^3)^2k+3(3^3)^2k+(5^3)^2k+1
=2(7+1)^2k+3(28-1)^2k+(126-1)^2k+1
把上式都展开，可知每一项都是最后一个式子不能被7整除，
第一个式子余2，第二个式子余3，第三个式子余1，最后一项为1，
则其和为2+3+1+1=7，即余数之和也能被7整除。
所以，原式对于任何正整数k都能被7整除。
整除是数论的基本问题，也是较难的问题，其解法很灵活，需要花点力气进行探究。

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其他回答

第1个回答 2012-01-31

下边都是模7的同余运算
2^(6k+1)+3^(6k+1)+5^6k+1＝2*64^k +3*27^(2k)　+125^(2k)　　+1
同余　2 +3*(-1^(2k) +(-1)^2k　　+1
同余　2　+3　+　1　　+1　＝7
　　　　　　　　　　　同余0
所以
2^(6k+1)+3^(6k+1)+5^6k+1总能被7整除

第2个回答 2012-02-08

顶同余一下

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