第1个回答 2019-12-25
未通分前前项是无穷大,不能用泰勒公式,后项是无穷大不好处理。
通分后又没有必要用泰勒公式,毕竟泰勒公式不便记忆,易出错。
可用等价无穷小代换和罗必塔法则。
原式 = lim<x→0>[x(e^x+xe^x)-(e^x-1)]/[x(e^x-1)]
= lim<x→0>(xe^x+x^2e^x-e^x+1)/x^2 (0/0)
= lim<x→0>(e^x+xe^x+2xe^x+x^2e^x-e^x)/(2x)
= lim<x→0>(3e^x+xe^x)/2 = 3/2.
若一定用泰勒公式,则为
原式 = lim<x→0>[x(e^x+xe^x)-(e^x-1)]/[x(e^x-1)]
= lim<x→0>[xe^x+x^2e^x-e^x+1]/[x(e^x-1)]
= lim<x→0>[x+x^2+x^2-1-x-x^2/2+o(x^2)+1]/[x^2+o(x^2)]
= lim<x→0>(3x^2/2)/(x^2) = 3/2.