如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，F为CD的延长线上一点，连接AF，且FA2=FD?FC．（1）求证：FA

Question

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，F为CD的延长线上一点，连接AF，且FA2=FD?FC．（1）求证：FA为⊙O的切线；（2）若AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的值．

Answer 1

（1）证明：连接BD、AD，如图，
∵FA²=FD?FC，
∴

FA

FD

=

FC

FA

．
∵∠F=∠F，
∴△FAD∽△FCA．
∴∠DAF=∠C．
∵∠DBA=∠C，
∴∠DBA=∠DAF．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠DBA+∠DAB=90°．
∴∠DAF+∠DAB=90°．
∴∠FAB=90°，即AF⊥AB．
∴FA为⊙O的切线．

（2）解：设CE=6x，AE=2y，则ED=5x，EB=3y．
由相交弦定理得：EC?ED=EB?EA．
∴30x²=6y²．
∴y=

5

x．
∴AE=2

5

x．
∵∠FAB=90°，
∴AF²=EF²-AE²．
∴FD?FC=EF²-AE²．
∴FD?（FD+11x）=（FD+5x）²-（2

5

x）²．
∴FD=5x．
∴AF²=FD?FC=80x²．
∴AF=4

5

x．
∵∠FAE=90°，FD=ED=5x，
∴AD=ED=5x．
∵△FAD∽△FCA．
∴

AD

AC

=

DF

AF

．
∵AD=DF=5x，AC=8，AF=4

5

x，
∴

5x

8

=

5x

4 5 x

．
解得：x= 温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考