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第1个回答 2014-01-23
（1）
∵EF是⊙O的直径，又OP⊥AB，∴AD＝BD，∴A、B关于OP对称，∴∠PAO＝∠PBO。
∵PB切⊙O于B，∴∠PBO＝90°，∴∠PAO＝90°，∴PA切⊙O于A。
（2）EF^2＝4OD×OP。
［证明］
∵EF是⊙O的直径，∴AF⊥AE，又AD⊥EF，∴由射影定理，有：AD^2＝FD×DE。
∵AP⊥AO、AD⊥PO，∴由射影定理，有：AD^2＝OD×PD，∴FD×DE＝OD×PD，
∴（FO＋OD）（EO－OD）＝OD（OP－OD），显然有：FO＝EO＝（1/2）EF，
∴（1/4）EF^2－OD^2＝OD×OP－OD^2，∴EF^2＝4OD×OP。
（3）
第一个问题：
∵tan∠F＝1/2，∴AD/FD＝1/2，∴FD＝2AD，∴OF＋OD＝2AD，∴OA＋OD＝2AD，
∴OD＝OA－2AD，∴OD^2＝OA^2－4OA×AD＋4AD^2。
显然有：OA^2＝OD^2＋AD^2，∴OA^2＝OA^2－4OA×AD＋4AD^2＋AD^2，
∴4OA×AD＝5AD^2，∴4OA＝5AD，∴16OA^2＝25AD^2＝25（OA^2－OD^2），
∴16OA^2＝25OA^2－25OD^2，∴9OA^2＝25OD^2，∴3OA＝5OD，∴OD/OA＝3/5，
∴cos∠AOD＝OD/OA＝3/5。
∵OD⊥AB、CB⊥AB，∴OD∥CB，∴∠AOD＝∠ACB，∴cos∠ACB＝3/5。
第二个问题：
∵OD∥CB，又AO＝CO，∴OD是△ACB的中位线，∴OD＝（1/2）BC＝3。
∵OD/OA＝3/5，又OD＝3，∴OA＝5，∴OE＝5。
由射影定理，有：OA^2＝OD×OP，∴5^2＝3（OE＋PE）＝3（5＋PE），∴3PE＝10，
∴PE＝10/3。
∵EF是⊙O的直径，又OP⊥AB，∴AD＝BD，∴A、B关于OP对称，∴∠PAO＝∠PBO。
∵PB切⊙O于B，∴∠PBO＝90°，∴∠PAO＝90°，∴PA切⊙O于A。
（2）EF^2＝4OD×OP。
［证明］
∵EF是⊙O的直径，∴AF⊥AE，又AD⊥EF，∴由射影定理，有：AD^2＝FD×DE。
∵AP⊥AO、AD⊥PO，∴由射影定理，有：AD^2＝OD×PD，∴FD×DE＝OD×PD，
∴（FO＋OD）（EO－OD）＝OD（OP－OD），显然有：FO＝EO＝（1/2）EF，
∴（1/4）EF^2－OD^2＝OD×OP－OD^2，∴EF^2＝4OD×OP。
（3）
第一个问题：
∵tan∠F＝1/2，∴AD/FD＝1/2，∴FD＝2AD，∴OF＋OD＝2AD，∴OA＋OD＝2AD，
∴OD＝OA－2AD，∴OD^2＝OA^2－4OA×AD＋4AD^2。
显然有：OA^2＝OD^2＋AD^2，∴OA^2＝OA^2－4OA×AD＋4AD^2＋AD^2，
∴4OA×AD＝5AD^2，∴4OA＝5AD，∴16OA^2＝25AD^2＝25（OA^2－OD^2），
∴16OA^2＝25OA^2－25OD^2，∴9OA^2＝25OD^2，∴3OA＝5OD，∴OD/OA＝3/5，
∴cos∠AOD＝OD/OA＝3/5。
∵OD⊥AB、CB⊥AB，∴OD∥CB，∴∠AOD＝∠ACB，∴cos∠ACB＝3/5。
第二个问题：
∵OD∥CB，又AO＝CO，∴OD是△ACB的中位线，∴OD＝（1/2）BC＝3。
∵OD/OA＝3/5，又OD＝3，∴OA＝5，∴OE＝5。
由射影定理，有：OA^2＝OD×OP，∴5^2＝3（OE＋PE）＝3（5＋PE），∴3PE＝10，
∴PE＝10/3。
第2个回答 2014-01-23
第3个回答 2014-01-23
连接OB证三角形BPO全等三角形AOP
OA=oB（半径相等）AB垂直OP（已知） 等腰三角形AOB OD三线合一OD为角平分线角AOB=角POB OP=OP 就全等了 所以角OAP=角OBP=90度（角oBP为90度 BP是切线）
所以OA垂直AP 所以是PA与圆相切
OA=oB（半径相等）AB垂直OP（已知） 等腰三角形AOB OD三线合一OD为角平分线角AOB=角POB OP=OP 就全等了 所以角OAP=角OBP=90度（角oBP为90度 BP是切线）
所以OA垂直AP 所以是PA与圆相切
第4个回答 2014-01-23
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