老实说,不用平方和公式的话,很难,因为这个性质是这道题的核心。
1/3这个东西不是随便靠些简单极限的性质就可以推出来的。
一个非常awkward的方法:
1*2+2*3+...+(n-1)*n=(n-1)*n*(n+1)/3,可以参考
http://zhidao.baidu.com/question/135128607.html因此,
1^2+...+n^2<1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1)=n*(n+1)*(n+2)/3,代入后极限是1/3。
1^2+...+n^2>0*1+1*2+2*3+...+(n-1)*n=(n-1)*n*(n+1)/3,代入后极限是1/3。
所以左右一夹,原题答案是1/3。