拉格朗日乘数法求最值

Question

如题所述

Answer 1

拉格朗日乘求最值方法如下：

1、做拉格朗日函数L=f（x，y，z）+λφ（x，y，z），λ称拉格朗日乘数。

2、求L分别对x，y，z，λ求偏导，得方程组，求出驻点P（x，y，z）。如果这个实际问题的最大或最小值存在，一般说来驻点只有一个，于是最值可求。

3、条件极值问题也可以化为无条件极值求解，但有些条件关系比较复杂，代换和运算很繁，而相对来说“拉格朗日乘数法”不需代换，运算简单一点，这就是优势。条件φ（x，y，z）一定是个等式，不妨设为φ（x，y，z）=m。则再建一个函数g（x，y，z）=φ（x，y,z）-m。

拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n个变量与k个约束条件的最优化问题转换为一个有n+k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。

这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。