线性代数问题

Question

A和B是n*n矩阵，B可逆，AB可逆，证明A是可逆的。提示：设C=AB，解方程。
虽然它提示了，但我还是不会，求高手指点。（我是刚学线代的，暂时没学到用malab软件，要用手算）

Answer 1

呃，上面这位仁兄的证法很厉害啊，不过这题好像不用这么麻烦吧，提示很清楚啊

设C=AB，因为AB可逆，则C可逆，设其逆矩阵为C'
则上式两边都右乘一个C'得：
I=ABC'
又若上式两边都左乘一个C'
得I=C'AB
又B可逆，再上式两边都右乘B的逆
得B'=C'A
上式两边都左乘B得：
I=BC'A
所以I=ABC'=BC'A
由定义知A可逆，且其逆矩阵为BC'

Answer 2

Bx=0
B可逆，则齐次方程只有零解，假设解向量x1=0,即Bx1=0
左乘A
ABx=0
AB可逆，则齐次方程只有零解
所以AB和B是同解方程组,解为x1
将上式看做
A(Bx)=0，其中Bx的每一列都是Ax=0的齐次方程组的解
因为同解，有
Bx1=0，所以Bx1的每一列都是零向量
所以Ax=0只有零解，所以A可逆