高中数学函数题求解

Question

如题所述

Answer 1

方程解的个数就是函数交点的个数
这两个函数互为反函数，图像关于y＝x对称
当0＜a＜1，指数函数是减函数，对数函数是减函数，可由图像知有唯一的交点在y＝x上，这里我举了个例子，a取0到1其他值也是这个形状

当a＞1，交点可以有2个，1个和0个，同样根据对称性，存在交点时，交点一定在y＝x上
我们先求临界值，也就是两个函数的图像相切，只有一个交点，那么此时切点的切线一定是y＝x，此时两个函数切点的导数都是1，用这个条件求出函数相切的a值，
先对 对数函数 求导，求出切点的x值，代入指数函数的切点导数＝1的方程里面，得到关于a的方程，解出a

那么当1＜a＜e^(1/e)时，有两个交点

当a＝e^(1/e)时有且仅有一个交点

当a＞e^(1/e)时没有交点

综上就有三种情况，
a＞e^(1/e)，无解，
0＜a＜1或者a＝e^(1/e)，一个解，
1＜a＜e^(1/e)，两个解

追答

我没有写a＝1因为指数函数，对数函数的底数一般≠1

追问

答案说最多有3个交点啊，，

追答

这两个图像怎么动都不会有三个交点，最多两个交点

你自己画一下，不可能画出三个交点

Answer 2

最简单画图，画出指数函数和对数函数图像。分别看a在0到1和大于1

Answer 3

分类讨论，注意a等于一的情况

Answer 4

若y=a^x,则x=log(a)y，即这两个函数是反函数
那么在图像上这两个函数就是关于y=x对称的
当0<a<1时，f(x)与y=x有一个交点，由于对称性，f(x)=g(x)有一个解
当a=1时，f(x)=1,g(x)退化成一条平行于y轴的直线(严格意义上说g(x)不是一个函数),f(x)=g(x)有一个解
当a>1时，f(x)始终在y=x的上方（因为a^x>x），由于对称性，f(x)=g(x)无解

Answer 5

当a＞1时，没有交点，
当0＜a＜1时，有一个交点