高中线性规划应用题

Question

某学校伙食长期以面粉和大米为主，面食每100g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配置盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问如何配制法饭盒，才能既科学又费用最少?（ 列出式子即可）

Answer 1

设面食数量为x，米食数量为y,蛋白质、淀粉及费用分别为z1、z2、z3。

z1=6x+3y (1)

z2=4x+7y (2)

z3=5x+4y (3)

z=ax+by是一平面方程

如果z为常数z1,则z1=ax+by => by=-ax+z1，表示的是平面z=ax+by与平面z=z1的交线在x,y平面上的投影。

则(1)~(3）式可表示如下

y = -2x+z1/3     （4）

y = (-4/7)x+z2/7 （5）

y = (-5/4)x+z3/5 （6）

将z1=8,z2=10代入式4、5得

y = -2x+8/3       （7）

y = (-4/7)x+10/7  （8）

上面两式表达的直线之上的部分满足至少8个单位蛋白和10个单位淀粉的条件，及图中所示阴影部分。

(6)式与Z平面的交线在xy平面的投影，随着z值的增大而平移向上。从图中看见该投影最先与(7)(8)式表达的直线的交点相交，在该点处z3最小。

因此最终的解法为：

求下列方程组的解即可

6x+3y=8 

4x+7y=10