用拉格朗日乘数法遇到的问题

Question

求u=f(x,y,z)在φ(x,y,z)=0下的极值点，把用拉格朗日乘数法算出的极值点代到u=f(x,y,z(x,y))=g(x,y)的两个偏导数处，结果却不一定为零，怎么回事？
比如 u=x^2+y^2+z^2，φ(x,y,z)=(x-y)^2 - z^2 - 1 = 0

Answer 1

对于你这个具体问题，当你代入约束把u=f(x,y,z(x,y))=g(x,y)时，在你代入z^2=(x-y)^2-1时，有一个边界条件(x-y)^2>=1(也即g(x,y)的定义域）,g(x,y)的最值不仅会出现在一些驻点上，也会出现在边界上，而在边界上出现的最值点自然不能要求其满足两个偏导数为0(但是沿边界的任意一个切方向导数应该为0）。而你这个问题中由拉格朗日乘子法解出的最值点x=-y=+/-1/2,z=0正是处于g(x,y)定义域的边界(x-y)^2=1即两条平行直线x-y=+/-1上。
此时代入一个边界y=1+x，得到g(x,y)=h(x)=x^2+(1+x)^2=2x^2+2x+1
h(x)对x偏导为0的点正好对应x=-1/2的点。