如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC中点,证△BMD为等腰直角三角形

Question

请标注所用的角

Answer 1

如图，延长AD到F，使DF=DA，连接EF、CF。则DE既是ΔAEF的高也是中线，所以ΔAEF也是等腰直角三角形。∴∠1=45°，EF⊥AE

∵∠DAE=∠BAC(都是45°)，∴∠BAE=∠CAF，又∵CA:BA=AF:AE=√2，∴ΔCAF∽ΔBAE，∴∠2=∠BEA=45°

于是∠1+∠2=45°+45°=90°，∴EF⊥CF，从而AE∥CF。

在直角梯形AEFC中，D、M分别是其两条对角线的中点，根据“梯形中位线定理”可知DM∥AE∥CF。

于是∠4=∠BEA=45°，从而∠3 =180°-∠ADE-∠4 =180°-90°-45°=45°

延长DM交AC于N，∵MN∥AE且M为EC中点，∴N为AC中点。

根据“等腰三角形底边中线与高重合”可知BN⊥AC，ΔBAN是等腰直角三角形，∠8+∠9=45°。

在四边形ADBN中，∠ADB=∠3+∠4=45°+45°=90°，∠ANB=90°，∴ADBN四点共圆，∴∠5=∠6

又∵BA:BN=√2，AD:MN=(AE÷√2):MN=(AE:MN)÷√2=2÷√2=√2，即BA:BN=AD:MN，∴ΔBAD∽BNM，∴∠7=∠9

∵∠8+∠9=45°，∴∠7+∠8=45°

在ΔBMD中，∠4=45°，∠7+∠8=45°，∠BMD=180°-45°-45°=90°。所以ΔBMD是等腰直角三角形。

追问

有没有简单一点的

Answer 2

证明：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=
1
2
EC=MC，
∴∠MBC=∠MCB．
∴∠BME=2∠BCM．（2分）
同理可证：DM=
1
2
EC=MC，∠EMD=2∠MCD．
∴∠BMD=2∠BCA=90°，（4分）
∴BM=DM．
∴△BMD是等腰直角三角形

Answer 3

这个题目其实是另一个题目的演变，就是一个三角形两边做外接（或内接正方形连接两顶点取重点，证明三角形形状）我以前看过好几个。

稍微简单一点就是归到这一类，即把△ABC和△ADE补全成两个正方形，则题目的证明就跟我下面一个证明一模一样