已知一椭圆经过点(2，-3)，且与椭圆9x 2 +4y 2 =36有共同的焦点，(1)求椭圆方程；(2)若P为椭圆上一点，P

Question

已知一椭圆经过点(2，-3)，且与椭圆9x 2 +4y 2 =36有共同的焦点，(1)求椭圆方程；(2)若P为椭圆上一点，P、F 1 、F 2 是一个直角三角形的顶点，且|PF 1 |＞|PF 2 |，求|PF 1 |：|PF 2 |的值．

Answer 1

解：(1)∵9x 2 +4y 2 =36， ∴a=3，b=2，c= ， 与之有共同焦点的椭圆可设为 ， 代入(2，-3)点，解得m=10或m=-2(舍)， 故所求方程为 ； (2)①若∠PF 2 F 1 =90°，则|PF 2 |= ， ∴|PF 1 |=2a-|PF 2 |= ， 于是|PF 1 |：|PF 2 |=2； ②若∠F 1 PF 2 =90°，则 ， 令|PF 1 |=p，|PF 2 |=q， 得 ， ∵Δ＜0，∴无解，即这样的三角形不存在； 综合①②知|PF 1 |：|PF 2 |=2。