等腰三角形三线合一的逆定理
① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 ② 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 ③ 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 总而言之：在一个三角形中，一边上的高线与此边上的中线，及此边对角角平分线中任意两线重合可推知此三角形为等腰三角形。 （注意：其中一边上的中线与此边对角角平分线重合推证等腰三角形，可应用正弦定理，或过此边中点作另外两边垂线。）
上面是我在百科里找到的 希望对你有用。下面是证明过程
证明①：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AD是BC边上的中线，
求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“延长加倍”，即延长AD到E点，使AD=ED，由此问题就解决了。
证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE
在⊿ABD和⊿ECD中
AD=DE
∠ADB=∠EDC
BD=CD
∴⊿ABD≌⊿ECD
∴AB=CE, ∠BAD=∠CED
∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∴∠CED=∠CAD
∴AC=CE
∴AB=AC
∴⊿ABC是等腰三角形。
不懂的话参考资料里有原图 过程和讲解 你可以去看看
参考资料：http://www.d4zx.sh.cn/po41/info/info_detail.jsp?infoId=info73000001475&account=