对二重积分∫∫f(x,y)dxdy进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分; D={(x,y)|0≤x≤1,0≤x+y≤1}

Question

下面有问题和答案，但是答案不太看得懂，希望有懂的大神能帮忙详细讲解讲解。小弟感激不尽！！！

Answer 1

极坐标下，先r后θ的形式更为常见，理解起来也更为容易，先θ后r的形式可以在前一种的基础上用类直角坐标法得出

先r后θ：
作出积分区域，从原点引射线穿过积分区域，交点为r的上限，具体如图

先θ后r：
在前一种的基础上，以θ为横坐标，r为纵坐标作出积分区域，观察积分区域，可以分为A B C D四个部分。需要注意的是θ积分上下限的计算。个人认为，题主给出的答案，在最后一部分，θ的上限似乎有些问题，-arccos(1/4)

如图，是我认为有问题的地方

追问

你好，我看你你的解答了。但是有一点没搞明白的，就是图上所标的那个的范围是怎么得到的呀？

追答

这个我不好描述，借助网上的说法：

经过原点的射线从与图形相切开始,逆时针旋转到与图形相切到离开图形为止就是θ的范围

θ具体的值就是该切线与极轴(x轴正方向)的夹角，要注意象限，可用θ=arctan(y/x)计算

关键词：相切，逆时针旋转

回到本题，相切开始的点，就是直线y=-x，在第四象限中，计算可得θ=-π/4；相切结束的点，x=0，y>0的部分，θ=π/4

希望可以帮到你，如果认可，请给采纳，谢谢！