正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直。

Question

请判断Rt三角形ABM于Rt三角形MCN是否相似，并说明你的理由。
设BM=x，当M点运动到什么位置时，Rt三角形ABM相似于Rt三角形AMN，求x的值
当Rt三角形ABM相似于Rt三角形AMN时，求梯形ABCN的面积。

Answer 1

1、证明：

 

∵∠B=90°    ∴∠1+∠2=90°

∵AM⊥MN      ∴∠2+∠3=90°

∴∠1=∠3

又∵∠B=∠C

∴△ABM∽△MCN（两个三角形的对应角相等，则两个三角形相似）

 

 

（2）解：作ME⊥AN于E

∵△ABM∽△AMN

∴∠1=∠4，,2=∠5（相似三角形对应角相等）

∵∠2+∠3=90°，∠6+∠3=90°

∴∠2=∠6

∴∠5=∠6

∵∠1=∠4  ∴BM=EM=x（角平分线上的点到角两边的距离相等）

∵∠5=∠6   ∴EM=CM=4-x（角平分线上的点到角两边的距离相等

∴x=4-x

∴x=2

 

（3）BM=CM=2

∵△ABM∽△MCN

∴BM/AB=CN/CM

∴2/4=CN/2

∴CN=1

∴梯形ABCN的面积=（4+1）×4÷2=10

Answer 2

（1）Rt三角形ABM于Rt三角形MCN相似.因为角ABM=角MCN=90度，
又因AM和MN垂直，所以角AMN=90，所以角AMB+角NMC=90度
又角BAM+角BMA=90度，所以角BAM=角NMC，所以两个三角形相似
（2）若Rt三角形ABM相似于Rt三角形AMN

AB/BM=AM/MN 又三角形ABM和MCN相似
即AB/BM=MC/CN 知AB=4 BM=x MC=4-x 求出NC=（4x-x.x）/4
由MC、NC求出MN
AB/BM=AM/MN 化简得x=2 (计算有点小麻)
(3)Rt三角形ABM相似于Rt三角形AMN
AB/BM=AM/MN AB=4 BM=2 MC=4-2=2 MN=1
梯形面积=（1+4）x4/2 =10