把本题的封闭曲面分成3片解决:记∑1是z=1,∑2是z=2,∑3是z=√(x^2+y^2 )
利用对坐标的曲面积分的计算公式,直接化成二重积分来求。
因为,所求的曲面积分∫∫e^z/√(x^2+y^2 ) dydz是对坐标【y】,【z】的,
所以,是化成【yoz】坐标面上的二重积分,
是把∑1,∑2,∑3分别投影到【yoz】坐标面上,来作为相应的二重积分的积分区域。
而,∑1与∑2在yoz坐标面上的投影为0,所以,这两片上的曲面积分都=0。
又,需将∑3分成2片:前片与后片,
而由于,题目给出为立体表面的外侧,所以,
前片化成二重积分时应该取正号,后片化成二重积分时应该取负号,从而在∑3上的积分也=0。
故原式=0。
解法2,用高斯公式,对号入座:P=e^z/√(x^2+y^2 ),Q=R=0,
P’x=ye^z/√(x^2+y^2 ),Q’y=R’z=0,
原式化成三重积分=∫∫∫(Ω)ye^z/√(x^2+y^2 )dv,其中Ω是∑1,∑2,∑3围成的立体,
Ω是一个(倒置的)圆台,
采用柱面坐标计算Ω上的这个三重积分=
=∫(0到2∏)dθ∫(0到1)rdr∫(1到2)rsinθ*e^z/√(r^2)dz,
其中,∫(0到2∏)sinθdθ=0,得到原式=0。
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