（2014?宁德质检）如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC

Question

（2014?宁德质检）如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（　　）A．①③B．②④C．①②③D．①②④

Answer 1

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°．
∵∠ACB=∠GCF，
∵DE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°．
在△DEB和△FGC中，

∠DEB＝∠FGC ∠GCF＝∠A BD＝CF

，
∴△DEB≌△FGC（AAS），
∴BE=CG，DE=FG，故①正确；
在△DEP和△FGP中，

∠DEP＝∠FGP ∠DPE＝∠FPG DE＝FG

，
∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正确；
∴PE=PG∠EDP=∠GFP≠60°，故③错误；
∵PG=PC+CG，
∴PE=PC+BE．
∵PE+PC+BE=2，
∴PE=1．故④正确．
正确的有①②④，
故选D．