已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM

Question

已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是______；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵M是EC的中点，
∴BM=

1

2

EC，DM=

1

2

EC，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴DM=BM．
∵M是EC的中点，
∴MC=

1

2

EC，
∴BM=MC=DM，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BME=∠1+∠2，∠EMD=∠3+∠4，
∴∠BMD=2（∠1+∠3），
∵△ABC等腰直角三角形，
∴∠BCA=45°，
∴∠BMD=90°，
∴BM=DM且BM⊥DM；
故答案为：BM=DM且BM⊥DM．

（2）成立． 
理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，连接CF、BF、BD．
在△EMD和△CMF中，
∵

CM＝EM ∠CMF＝∠EMD DM＝MF

∴△EMD≌△CMF（SAS），
∴ED=CF，∠DEM=∠1．
∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，
∴∠2=∠3=45°，∠4=∠5=45°．
∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．
∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，
∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9），
=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．
∴∠8=∠BAD．
在△ABD和△CBF中，
∵

CF＝AD ∠8＝∠BAD AB＝BC

，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．
∴∠DBF=∠ABC=90°．
∵MF=MD，
∴BM=DM且BM⊥DM．