已知:如图,正方形ABCD中,AC、BD为对角线,点E是射线BC上一动点,连结AE,点F在射线CD上,∠EAF=45°,AE、AF交直线BD于点P、Q.连结EF、EQ.
(1)在下图中按要求补全图形,并探究:在E、F运动的过程中,∠AEQ的大小是否改变,若不变,求出它的度数;若改变,写出它的变化范围.
(2)探究△APQ与△AEF的周长的数量关系,写出结论并加以证明.
延长CD 至E'使ABE=ADE',连结EQ,,CQ,,,,三角型E'AE是等腰直角好证,现说明,BAE=E'AD,,,又BAE+EAD=90,,所以EAE'是直角,再就是证Q点在EE'直线上,用梅涅劳定理只要E'D/DC=E'Q/QE×BE/BC就行,,,,AEQ和AE'Q全等好证所以QE=QE'
又BE/BC=E'D/DC比较明显,,,所以根据三线合一,,,AQE是等腰直角,,AEQ是45度永远
第二问,,,由上一问的结论AE=根2倍AQ,,,,同理AF=根2倍AP,,,,,,这个同理我解释一下,就是在AB的左侧做ADF的全等ABF',,,同样P点具有Q点性质在AFF'这个等腰直角三角型斜边中点,,,以上两条加上公共角EAF推得APQ相似AFE,,,,,APQ=AEF的周长/根2,,,
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