简单函数求导公式证明

Question

1.(xˆn)'=nxˆ(n-1)
2.(sinx)'=cosx
3.(cosx)'=-sinx
4.(aˆx)'=aˆxlna（满足条件略）
5.(logax)'=1/xlna
6.(eˆx)'=eˆx
7.(lnx)'=1/x
谢谢

Answer 1

这些公式的证明一般教材上都有，用的是导数的定义
f'(x) = lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/△x。
例如，
1. (xˆn)' = lim(△x→0)[(x+△x)^n - x^n]/△x
= lim(△x→0)[C(n,n-1)x^(n-1)+C(n,n-2)x^(n-2)*△x+…+C(n,1)x*△x^(n-2)) +C(n,0)△x^(n-1)
= nxˆ(n-1)。

哪个找不到可以再找我。追问

能不能不用定义解释
我以前证过是用对数的，现在有点忘了

用定义证明太麻烦了

追答

多数基本公式是要用定义证明的，我教了多年的课都是这么讲的。谁能发现不用定义证明的方法，赶紧公布，可以解放我等庸才。

追问

你证明的那个，我以前是这样证明的：
设y=xˆn,
两边取对数，得到lny=nlnx
再两边分别取导数，
我以前的草稿上面就写到(1/y)*y'=n/x
再整理一下就有了y'=n*xˆ(n-1)
不过现在看不懂为什么了

追答

这个做法是对的，不过用到了复合函数求导法，一般的教材在给出导数的基本公式前还没有复合函数求导法，所以基本公式要从定义出发来推导。你的做法是：
对 y=xˆn 两边取对数，得到
lny=nlnx，
再两边分别取导数，得到
(1/y)*y'=n/x （复合函数求导法）整理，得 y'=n*xˆ(n-1)。

追问

哦，突然想起来了，谢谢

Answer 2

到大学学了几个重要的极限后才能证明，高中阶段记住公式会运用就好！现在跟你讲也很难明白，实在没必要搞得太乱！本回答被网友采纳

Answer 3

不要管证明，记住并会用就行。

Answer 4

大学内容。