已知正整数abc 满足 a＜b ＜c ，实数x,y,z,w 满足a^x=b^y=c^z=6^w ，(xy+yz+zx)w=xyz ； 求证：a +b =c

Question

如题所述

Answer 1

由a^x=b^y=c^z=6^w，
有a^(x/w)=b^(y/w)=c^(z/w)=6
所以x/w=lg6/lga, y/w=lg6/lgb, z/w=lg6/lgc
所以w/x=lga/lg6, w/y=lgb/lg6, w/z=lgc/lg6
又(xy+yz+zx)w=xyz，
所以(1/x+1/y+1/z)w=1。
综上，有lga/lg6+lgb/lg6+lgc/lg6=1
即
lg(abc)/lg6=1
所以abc=6

又因为abc为正整数，且a<b<c，所以
a=1, b=2, c=3.
所以a+b=c
原题得证。追问

可是初二学生没有学习对数啊

Answer 2

解：由a^x=b^y=c^z=6^w，得a=6^(w/x)，b=6^(w/y)，c=6^(w/z)，abc=6^(w/x) 6^(w/y) 6^(w/z)=6^( w/x+w/y+w/z)= 6^(1/x+1/y+1/z)w，又(xy+yz+zx)w=xyz，所以(1/x+1/y+1/z)w=1因此abc=6，又因为abc为正整数，且a<b<c，所以a=1, b=2, c=3.所以a+b=c原题得证。

Answer 3

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊，做不出

Answer 4

用对数做简便, 你可以看看相关对数知识.