问一个积分证明题

Question

设f(x)在[0,a]上连续（a>0）,证明：
∫（0，a）dx∫（0，x）f（x）f（y）dy=（1/2）[∫（0，a）f（x）dx]^2

积分符号后面括号里的是上下限

Answer 1

证：
∫（0，a）dx∫（0，x）f（x）f（y）dy=∫∫(D)f(x)f(y)dxdy
D:0≤y≤x;0≤x≤a(可以在图上画出积分区域，有助解题思维)
又由此题中x,y的对称性可得：
∫∫(D)f(x)f(y)dxdy=∫∫(D')f(y)f(x)dydx
D':0≤x≤y;0≤y≤a
所以
∫∫(D)f(x)f(y)dxdy=1/2[∫∫(D)f(x)f(y)dxdy+∫∫(D')f(y)f(x)dydx]=(1/2)[∫∫(D'')f(y)f(x)dydx]
D''=D+D':0≤x≤a;0≤y≤a
所以
(1/2)[∫∫(D'')f(y)f(x)dydx]=(1/2)∫（0，a）dx∫（0，a）f（x）f（y）dy=(1/2)∫（0，a）f（x）dx*∫（0，a）f（y）dy=（1/2）[∫（0，a）f（x）dx]^2
即
∫（0，a）dx∫（0，x）f（x）f（y）dy=（1/2）[∫（0，a）f（x）dx]^2
得证

Answer 2

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