一道高中立体几何小证明题

Question

ABCD-EFGH是一个长方体，请证明体对角线DF垂直于面BEG，且DF与面BEG的交点是三角形BEG的重心。 写出详细证明过程。

Answer 1

题目有误，应为ABCD-EFGH是一个正方体。
证明：如图所示，设正方体棱长为1.
(1)
正方形对角线EG⊥FH,由三垂线逆定理,得EG⊥DF,同理AF⊥BE,∴
BE⊥DF,
BF∩EG=F,
∴
DF⊥面BEG
(2)
设DF交面BEG于P,
∵
DF在面BDHF内,
面BDHF⊥面BEG,
面BDHF∩面BEG=BO'(△BEG的一条中线),
∴
点P∈BO'.
在矩形BDHF中BO'∥HO,Q为DP的中点,
∴
P为QF的中点,
∴
DQ=QP=PF=(1/3)DF=√3/3,
∴
体对角线DF与面BEG的交点P是DF的一的三等分点.
(3)
BO'=√(BF²+FO'²)=√6/2,
PO'=√(FO'²+PF²)=√6/6,
∴
BP=BO'-PO'=√6/3.
∵
BP/PO'=2,
∴
点P是△BEG重心
.