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    • 如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的

    如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD。 （1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（ ，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于 ，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

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    推荐答案   推荐于2016-09-09
    解：（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x 轴于点F
    由已知得BF=OE=2，OF=
    ∴点B的坐标是（ ，2）
    设直线AB的解析式是y=kx+b，
    则有
    解得
    ∴直线AB的解析式是y= x+4。
    （2）如图，∵△ABD由△AOP旋转得到，
    ∴△ABD≌△AOP，
    ∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
    ∴∠DAP=∠BAO=60°，
    ∴△ADP是等边三角形，
    ∴DP=AP=
    如图，过点D作DH⊥x 轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH
    在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°
    ∴BG=BD·cos60°=
    DG=BD·sin60°=
    ∴OH=EG= ，DH=
    ∴点D的坐标为（ ， ）。
    （3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于
    设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：
    ①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG= t，
    ∴DH=2+ t
    ∵△OPD的面积等于 ，
    ∴ ，
    解得 ， （ 舍去）
    ∴点P 1 的坐标为 （ ，0 ）。
    ②当 ＜t≤0时，如图，BD=OP=-t，BG=- t，
    ∴DH=GF=2-（ -t）=2+ t
    ∵△OPD的面积等于 ，
    ∴ ，
    解得 ，
    ∴点P 2 的坐标为（ ，0），点P 3 的坐标为（ ，0）。
    ③当t≤ 时，如图，BD=OP=-t，DG=- t，
    ∴DH=- t-2
    ∵△OPD的面积等于 ，
    ∴ ，
    解得 （舍去）， ，
    ∴点P 4 的坐标为（ ，0）
    综上所述，点P的坐标分别为P 1
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