如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的
如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD． （1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（ ，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于 ？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)直线AB的解析式是 ；（2）DP= ,点D的坐标为（ ， ）；存在，点P的坐标分别为P 1 （  ，0）、P 2 （ ，0）、P 3 （ ，0）、P 4 （ ，0） |
| 试题分析：（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解. （2）由△ABD由△AOP旋转得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD?cos60°，DG=BD?sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标. （3）分三种情况进行讨论： ①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时；②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时；即  ＜t≤0时③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤ 时.综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值. 试题解析： （1）如答图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F.  由已知得：BF=OE=2，∴  .∴点B的坐标是（  ，2）.设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有  ，解得 .∴直线AB的解析式是  .（2）∵△ABD由△AOP旋转得到， ∴△ABD≌△AOP.∴AP=AD，∠DAB=∠PAO. ∴∠DAP=∠BAO=60°.∴△ADP是等边三角形. ∴  .如答图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH.  在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°， ∴BG=BD?cos60°=  ．DG=BD?sin60°= .∴OH=EG= ，DH= .∴点D的坐标为（ ， ）.（3）存在. 假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于 .设点P为（t，0），下面分三种情况讨论： ①当t＞0时，如答图2，BD=OP=t，DG=  t，∴DH=2+ t.∵△OPD的面积等于  ，∴ ，解得  （舍去）.∴点P 1 的坐标为（ ，0）.②∵当D在x轴上时，如答图3，  根据锐角三角函数求出BD=OP=  ，∴当 ＜t≤0时，如答图1，BD=OP=﹣t，DG= t，∴GH=BF=2﹣（ t）=2+ t.∵△OPD的面积等于 
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