解:(1)f′(x)= 1x ex …(1分) 由f'(x)=0得x=1 当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减; ∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1);单调递减区间是(1,+∞)…(3分) ∴f(x)的最大值为f(1)= 1 e +c…(4分) (2)令g(x)=|lnx|-f(x)=|lnx|-xe -x -c,x∈(0,+∞)…(5分) ①当x∈(1,+∞)时,g(x)=lnx-xe -x -c ∴g′(x)= 1 x ex+xex= 1 x +ex(x1) ∵e -x >0,x-1>0∴g'(x)>0 ∴g(x)在(1,+∞)上单调递增 …(7分) ②当x∈(0,1)时,lnx<0,g(x)=-lnx-xe -x -c 则g′(x)= 1 x +ex(x1) ∵ 1 x <1,ex>0,x1<0 ∴g'(x)<0,∴g(x)在(0,1)上单调递减 综合①②可知,当x∈(0,+∞)时,g(x)≥g(1)=-e -1 -c…(9分) 当g(1)>0即c<-e -1 时,g(x)没有零点,故关于方程|lnx|=f(x)的根的个数为0 当g(1)=0即c=-e -1 时,g(x)只有一个零点,故关于方程|lnx|=f(x)的根的个数为1 …(11分) 当g(1)<0即c>-e -1 时,当x∈(1,+∞)时 由(1)知g(x)=lnxxexc≥lnx( 1 e +c)>lnx1c 要使g(x)>0,只需lnx-1-c>0即x∈(e 1+c ,+∞) 当x∈(0,1)时,由(1)知g(x)=lnxxexc≥lnx( 1 e +c)>lnx1c 要使g(x)>0,只需-lnx-1-c>0即x∈(0,e -1-c ) 所以c>-e -1 时,g(x)有两个零点 …(13分) 综上所述,当c<-e -1 时,关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为0 当c=-e -1 时,关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为1 当c>-e -1 时,关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为2 …(14分)
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