解：（1）f′(x)＝ 1x ex …（1分） 由f'（x）=0得x=1 当x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； ∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，1）；单调递减区间是（1，+∞）…（3分） ∴f（x）的最大值为f(1)＝ 1 e +c…（4分） （2）令g（x）=|lnx|-f（x）=|lnx|-xe -x -c，x∈（0，+∞）…（5分） ①当x∈（1，+∞）时，g（x）=lnx-xe -x -c ∴g′(x)＝ 1 x ex+xex= 1 x +ex(x1) ∵e -x ＞0，x-1＞0∴g'（x）＞0 ∴g（x）在（1，+∞）上单调递增 …（7分） ②当x∈（0，1）时，lnx＜0，g（x）=-lnx-xe -x -c 则g′(x)＝ 1 x +ex(x1) ∵ 1 x ＜1，ex＞0，x1＜0 ∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递减 综合①②可知，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥g（1）=-e -1 -c…（9分） 当g（1）＞0即c＜-e -1 时，g（x）没有零点，故关于方程|lnx|=f（x）的根的个数为0 当g（1）=0即c=-e -1 时，g（x）只有一个零点，故关于方程|lnx|=f（x）的根的个数为1 …（11分） 当g（1）＜0即c＞-e -1 时，当x∈（1，+∞）时 由（1）知g(x)＝lnxxexc≥lnx( 1 e +c)＞lnx1c 要使g（x）＞0，只需lnx-1-c＞0即x∈（e 1+c ，+∞） 当x∈（0，1）时，由（1）知g(x)＝lnxxexc≥lnx( 1 e +c)＞lnx1c 要使g（x）＞0，只需-lnx-1-c＞0即x∈（0，e -1-c ） 所以c＞-e -1 时，g（x）有两个零点 …（13分） 综上所述，当c＜-e -1 时，关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数为0 当c=-e -1 时，关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数为1 当c＞-e -1 时，关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数为2 …（14分）
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