如图1，在平面直角坐标系中，半径为4的⊙O交坐标轴于A、B、C、D，点P为弧BC上一个动点（不与B、C点重合）

Question

如图1，在平面直角坐标系中，半径为4的⊙O交坐标轴于A、B、C、D，点P为弧BC上一个动点（不与B、C点重合）．连AP、BC交于点G，连FG交OB 于点E．（1）请运用圆的定义证明C、F、P、G在同一个圆上；（2）当P为BC的中点时，求点G的坐标；（3）如图2，连接PD，设△PAB的内切圆半径为r，求证：PD＝2(4+r)．

Answer 1

解答：解：（1）如图1，取FG的中点M，连CM，PM．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠APB=90°，
∴∠BCF=∠FPB=90°
∴CM=GM=PM=FM=

1

2

EG，即点C、F、P、G到点M的距离相等，
根据圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
点C、F、P、G在以点M为圆心，MC长为半径的圆上．

（2）如图1，连PC．
∵点P为弧BC的中点，
∴

PC

=

PB

，
∴∠BAP=∠CAP．
又∵AP⊥BF，BC⊥AF，AP、BC交于点G，
∴点G为△ABF的垂心，
∴FG⊥AB，即GE⊥AB．
∵在△ACG和△AEG中，

∠ACG＝∠AEG＝90° ∠CAG＝∠EAG AG＝AG

，
∴△ACG≌△AEG（AAS）．
∴AC=AE．
∵AO⊥OC，AO=OC=4，
∴AC=4

2

，
∴AE=4

2

．
∴OE=AE-AO=4

2

-4，
∴BE=OB-OE=8-4

2

．
∵∠1=∠CAB=45°，
∴∠=∠2=45°，
∴EG=BE=8-4

2

，
∴点G的坐标是：（4

2

-4，8-4

2

）；

（3）证明：如图2，作∠ABP的角平分线BQ交PD于点Q，过点Q作QM⊥AP，QN⊥BP，垂足分别为点M、N．
∵

BD

=

AD

，
∴∠1=∠2=45°．
又∵BQ平分∠ABP，
∴点Q即为△PAB的内心，
∴QM=QN=r，又∠QMP=∠QNP=∠MPN=90°，
∴四边形MQNP为正方形，易得PQ=

2

QM=

2

r，
∵△BPQ的外角∠5=∠2+∠3=45°+∠3，∠DBQ=∠DBO+∠4=45°+∠4，又∠3=∠4，
∴∠5=∠DBQ，
∴DQ=DB=4

2

，
∴PD=PQ+QD=

2

r+4

2

=

2

（4+r）．