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ä¾1 å¦å¾2-1æ示ï¼â 1=â 2ï¼â ABC=â DCBï¼æ±è¯ï¼AB=DCï¼
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¨çä¸è§å½¢è¯æ线段(æè§)ç¸çï¼æ常ç¨çæ¹æ³æ¯æ¢ç©¶ææ±è¯ç线段(æè§)åå«å¨ä¸å¯¹å¯è¯çå
¨çä¸è§å½¢ä¹ä¸ï¼æ¬é¢çABï¼DCåå«å±äºä¸¤å¯¹ä¸è§å½¢â³ABEåâ³CDEåâ³ABCåâ³DBCï¼ç»åæå¯è¯æâ³ABEââ³CDEï¼
è¯ ç±å·²ç¥ï¼â 1=â 2ï¼
â ABC=â DCBï¼è
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â ECB=â DCB-â 2ï¼
æ以â EBC=â ECBï¼å¨
â³ABCåâ³BCDä¸ï¼
â ABC=â BCDï¼
â EBC=â ECBï¼BC=BCï¼
æ以 â³ABCââ³DCB(ASA)ï¼
æ以 AB=CDï¼
说æ 线段ABï¼CDä¹å±äºä¸¤ä¸ª(äºå®ä¸)å
¨ççâ³ABEåâ³DCEï¼å æ¤ä¹å¯ç´æ¥è¯æè¿ä¸¤ä¸ªä¸è§å½¢å
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ä¾2 å¦å¾2-2æ示ï¼â³ABCæ¯çè
°ä¸è§å½¢ï¼Dï¼Eåå«æ¯è
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åæ ä»å¾å½¢çï¼GEï¼GDåå«å±äºä¸¤ä¸ªæ¾ç¶ä¸å
¨ççä¸è§å½¢ï¼â³GECåâ³GBDï¼æ¤æ¶å°±è¦å©ç¨è¿ä¸¤ä¸ªä¸è§å½¢ä¸å·²æççéæ¡ä»¶ï¼ç»åå·²ç¥æ·»å è¾
å©çº¿ï¼æé å
¨çä¸è§å½¢ï¼æ¹æ³ä¸æ¢ä¸ç§ï¼ä¸é¢è¯æ³æ¯å
¶ä¸ä¹ä¸ï¼
è¯ è¿Eä½EFâABä¸äº¤BC延é¿çº¿äºFï¼å¨â³GBDåâ³GEFä¸ï¼ â BGD=â EGF(对顶è§)ï¼ â
â B=â F(两ç´çº¿å¹³è¡å
éè§ç¸ç)ï¼ â¡
åâ B=â ACB=â ECF=â Fï¼æ以ï¼â³ECFæ¯çè
°ä¸è§å½¢ï¼ä»èEC=EFï¼åå 为EC=BDï¼æ以
BD=EFï¼ â¢
ç±â ï¼â¡ï¼â¢
â³GBDââ³GEF(AAS)ï¼
æ以 GD=GEï¼
说æ éå½æ·»å è¾
å©çº¿ãæé å
¨çä¸è§å½¢çæ¹æ³å¯ä»¥ä¸æ¢ä¸ç§ï¼æ¬é¢è³å°è¿æ以ä¸ä¸¤ç§æ¹æ³ï¼
(1)è¿Dä½DFâACï¼äº¤BCäºFï¼å¯ç¨åæ ·æ¹æ³è¯æâ³GFDââ³GCE(å¾2-3)ï¼
(2)è¿Dä½DFâ¥BCäºFï¼è¿Eä½EHâ¥BCäºBC延é¿çº¿äºHï¼å¯è¯æâ³GFDââ³GEH(å¾2-4)ï¼
åå®ä¸éé¢åï¼åæ³ä¸æ³è¿æ没æå
¶ä»è¯ææ¹æ³ï¼æ¯è¾ä¸ä¸åªç§è¯æ³æ´å¥½ï¼è¿å¯¹äºåå±æèãé»ç¼è½åæ¯å¤§æ好å¤çï¼
ä¾3 å¦å¾2-5æ示ï¼å¨çè¾¹ä¸è§å½¢ABCä¸ï¼AE=CDï¼ADï¼BE交äºPç¹ï¼BQâ¥ADäºQï¼æ±è¯ï¼BP=2PQï¼
åæ é¦å
çå°BPï¼PQå¨Rtâ³BPQä¹ä¸ï¼åªè¦è¯æâ BPQ=60°(æâ PBQ=30°)ï¼ç¶èï¼â BPQæ¯â³ABPçä¸ä¸ªå¤è§ï¼æ以â BPQ=â PAB+â PBAï¼ä½â A=â PAB+â PAC=60°ï¼è¥è½è¯æâ PBA=â PACï¼é®é¢å³è½è§£å³ï¼è¿ä¸¤ä¸ªè§åå«å¨â³ABEä¸â³CADä¸ï¼å¯ä»¥è¯æè¿ä¸¤ä¸ªä¸è§å½¢å
¨çï¼
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â EAB=â DCA=60°ï¼AB=CAï¼AE=CDï¼
æ以
â³ABEââ³CAD(SAS)ï¼
æ以 â ABE=â CADï¼
ç±äºâ BPQæ¯â³ABPçå¤è§ï¼æ以
â BPQ=â PAB+PBA=â PAB+â CAD=60°ï¼
å¨Rtâ³BQPä¸ï¼â BPQ=60°ï¼â PBQ=30°ï¼æ以BP=2PQ(å¨Rtâ³BPQä¸30°è§ç对边çäºæè¾¹çä¸å)ï¼
说æ åç°ææé å
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³é®ï¼ä¸ºæ¤ï¼æ们常ä»åç°ä¸¤ä¸ªä¸è§å½¢ä¸å¯¹åºå
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¨ççæ¡ä»¶ï¼å¦æ¬é¢å¨åæå°æ¬²è¯â ABP=â CADåï¼è¿èæ注æåéä¸å°â³ABEä¸â³CADä¸ï¼è¿éï¼å¯éå½å©ç¨å ä½ç´è§æè§ï¼å¯åæ们寻æ¾æå¸æå
¨ççä¸è§å½¢ï¼ä¾å¦è½ç¶â³ABPä¸â³APEé½å«æ¬²è¯çè§ï¼ä½åªéè§å¯å³å¯ç¥ï¼è¿ä¸¤ä¸ªä¸è§å½¢æ æå
¨çï¼
ä¾4 å¦å¾2-6æ示ï¼â A=90°ï¼AB=ACï¼Mæ¯ACè¾¹çä¸ç¹ï¼ADâ¥BM交BCäºDï¼äº¤BMäºEï¼æ±è¯ï¼
â AMB=â DMCï¼
åæ1 ä»å¾å½¢è§å¯â AMEä¸â DMCæå¨ç两个ä¸è§å½¢â³AMEä¸â³DMCæ¾ç¶ä¸å
¨çï¼ä½æ¯è¿ä¸¤ä¸ªä¸è§å½¢ä¸æå
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ç´ ï¼AM=MCï¼è¥è½å©ç¨å·²ç¥æ¡ä»¶å¨ç°æçä¸è§å½¢ä¸æé åºæ°ç对åºç¸ççå
ç´ ï¼å½¢æå
¨çä¸è§å½¢ï¼è¿æ¯çæ³ä¸è¿çäºï¼ç±äºâ C=45°ï¼â A=90°ï¼è¥ä½â Açå¹³å线AGï¼åå¨â³AGMä¸ï¼â GAM=45°=â Cï¼ç»åæ±è¯ä¸çâ AMB=â DMC(è¿å½ç¶ä¸è½ä½ä¸ºå·²ç¥ï¼ä½å¨åæä¸å¯ä»¥âå½ä½å·²ç¥âæ¥èèï¼ä»¥ä¾¿å¯»æ¾æè·¯)ï¼æ们å¯ä»¥æè¨â³AGMâåºè¯¥âä¸â³CDMå
¨çï¼ä¸ºæ¤ï¼åªè¦å¨è¿ä¸¤ä¸ªä¸è§å½¢ä¸æ±å¾ä¸ç»è¾¹ç¸çå³å¯ï¼å¾å½¢åæ¡ä»¶å¯åæ们å¯èèå»è¯æâ³AGBââ³CDAï¼
è¯æ³1 ä½â BACçå¹³å线AGï¼äº¤BMäºGï¼å¨â³AGBä¸â³CDAä¸ï¼å 为
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â ABG=90°-â AMBï¼ â
â MAD=90°-â EABï¼ â¡
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â³AGBââ³ADC(ASA)ï¼
äºæ¯ AG=CDï¼
å¨â³AMGä¸â³CMDä¸ï¼è¿æ
AM=MCï¼â GAM=â DCM=45°ï¼
æ以 â³AMGââ³CMDï¼
ä»è â AMB=â DMCï¼
åæ2 å¦å¾2-7æ示ï¼æ³¨æå°å¨Rtâ³ABMä¸ï¼ç±AEâ¥BMå¾å°â MAE=â MBAï¼è¥å»¶é¿AEï¼è¿Cä½CFâ¥AC交AE延é¿çº¿äºFï¼å¯ææRtâ³ABMâRtâ³ACFï¼ä»èæâ AMB=â Fï¼è®¾æ³è¯æâ DMC=â Fï¼åé®é¢è·è§£ï¼
è¯æ³2 å¼è¾
å©çº¿å¦åæ2æè¿°ï¼å¨Rtâ³ABMä¸Rtâ³CAFä¸ï¼â ABM=â CAFï¼AB=ACï¼å
â BAM=â ACF=90°ï¼
æ以
Rtâ³ABMâRtâ³CAF(ASA)ï¼
æ以
â AMB=â Fï¼AM=CFï¼ â
å¨â³MCDä¸â³FCDä¸ï¼FC=AM=MC(å 为Mæ¯ACä¸ç¹)ï¼ç±äºâ ACF=90°ï¼â ACB=45°ï¼æ以
â FCD=â MCD=45°ï¼CD=CDï¼
æ以 â³FCDââ³MCD(SAS)ï¼
æ以 â F=â DMCï¼ â¡
ç±â ï¼â¡ â AMB=â DMCï¼
说æ è¿ä¸¤ä¸ªè¯æ³çæè·¯è¾ä¸ºå¤æï¼æ·»å è¾
å©çº¿çç»æé åºä¸¤å¯¹å
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ç´ ï¼ä¸ºç¬¬äºå¯¹å
¨çä¸è§å½¢åäºéºå«ï¼ç¬¬ä¸å¯¹å
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¨çä¸è§å½¢ä¸ï¼ä»èæå使é®é¢è·è§£ï¼å¯¹ä¸äºè¾å¤æçé®é¢éç¨è¿åçåæ³ï¼å å¿å©å¯¼å°åé å
¨çä¸è§å½¢ï¼äº§çæ´å¤çç¸çæ¡ä»¶ï¼ä½¿æ¬²è¯çè§(æè¾¹)转移ä½ç½®ï¼èµ°åºâæ»è§âï¼æç»ä½¿é®é¢è·è§£ï¼
ä¾5 å¦å¾2-8æ示ï¼æ£æ¹å½¢ABCDä¸ï¼å¨è¾¹CDä¸ä»»åä¸ç¹Qï¼è¿AQï¼è¿Dä½DPâ¥AQï¼äº¤AQäºRï¼äº¤BCäºPï¼æ£æ¹å½¢å¯¹è§çº¿äº¤ç¹ä¸ºOï¼è¿OPï¼OQï¼æ±è¯ï¼OPâ¥OQï¼
åæ 欲è¯OPâ¥OQï¼å³è¯æâ COP+â COQ=90°ï¼ç¶èï¼â COQ+â QOD=90°ï¼å æ¤åªéè¯æâ COP=â DOQå³å¯ï¼è¿å½ç»ä¸ºè¯æâ³COPââ³DOQï¼åå½ç»ä¸ºè¯æCP=DQï¼æåï¼åå½ç»ä¸ºè¯æâ³ADQââ³DCPçé®é¢ï¼
è¯ å¨æ£æ¹å½¢ABCDä¸ï¼å 为AQâ¥DPï¼æ以ï¼å¨Rtâ³ADQä¸Rtâ³RDQä¸æâ RDQ=â QADï¼æ以ï¼å¨Rtâ³ADQä¸Rtâ³DCPä¸æ
AD=DCï¼â ADQ=â DCP=90°ï¼
â QAD=â PDCï¼
æ以
â³ADQââ³DCP(ASA)ï¼DQ=CPï¼
åå¨â³DOQä¸â³COPä¸ï¼
DO=COï¼â ODQ=â OCP=45°ï¼
æ以
â³DOQââ³COP(SAS)ï¼â DOQ=â COPï¼
ä»è
â POQ=â COP+â COQ=â DOQ+â COQ
=â COD=90°ï¼
å³OPâ¥OQï¼
说æ (1)å©ç¨ç¹æ®å¾å½¢çç¹æ®æ§è´¨ï¼å¸¸å¯åç°æç¨çæ¡ä»¶ï¼å¦æ£æ¹å½¢å¯¹è§çº¿äºç¸åç´ï¼å¯¹è§çº¿ä¸è¾¹æ45°è§ï¼åOA=OB=OC=ODçåå¨æ¨è¯å
¨çä¸è§å½¢ä¸è¢«ç¨å°ï¼
(2)两个ä¸è§å½¢çå
¨çä¸å¯¹åºå
ç´ ç¸çï¼è¿ä¸¤è
äºä¸ºå æï¼è¿æ¯å©ç¨å
¨çä¸è§å½¢è¯æé®é¢çåºæ¬æå·§ï¼
ä¾6 å¦å¾2-9æ示ï¼å·²ç¥æ£æ¹å½¢ABCDä¸ï¼M为CDçä¸ç¹ï¼E为MCä¸ä¸ç¹ï¼ä¸â BAE=2â DAMï¼æ±è¯ï¼AE=BC+CEï¼
åæ è¯æä¸æ¡çº¿æ®µçäºä¸¤æ¡çº¿æ®µåçåºæ¬æ¹æ³æ两ç§ï¼
(1)éè¿æ·»è¾
å©çº¿âæé âä¸æ¡çº¿æ®µä½¿å
¶ä¸ºæ±è¯ä¸ç两æ¡çº¿æ®µä¹å(BC+CE)ï¼åè¯ææé ç线段ä¸æ±è¯ä¸é£ä¸æ¡çº¿æ®µç¸çï¼
(2)éè¿æ·»è¾
å©çº¿å
å¨æ±è¯ä¸é¿çº¿æ®µ(AE)ä¸æªåä¸çº¿æ®µä¸çæä¸æ®µ(å¦BC)ç¸çç线段ï¼åè¯ææªå©çé¨åä¸çº¿æ®µä¸çå¦ä¸æ®µ(CE)ç¸çï¼æ们ç¨(1)æ³æ¥è¯æï¼
è¯ å»¶é¿ABå°Fï¼ä½¿BF=CEï¼åç±æ£æ¹å½¢æ§è´¨ç¥
AF=AB+BF=BC+CEï¼
ä¸é¢æ们å©ç¨å
¨çä¸è§å½¢æ¥è¯æAE=AFï¼ä¸ºæ¤ï¼è¿æ¥EF交边BCäºGï¼ç±äºå¯¹é¡¶è§â BGF=â CGEï¼æ以
Rtâ³BGFâRtâ³CGE(AAS)ï¼
ä»è
äºæ¯
Rtâ³ABGâRtâ³ADM(SAS)ï¼
æ以
è¿Gå¼GHâ¥AEäºHï¼å 为AGæ¯â EAFçå¹³å线ï¼æ以GB=GHï¼ä»èRtâ³GBFâRtâ³GHE(HL)ï¼æ以
â F=â HEGï¼
å AF=AE(åºè§ç¸ççä¸è§å½¢æ¯çè
°ä¸è§å½¢)ï¼
å³ AE=BC+CEï¼
说æ æ们ä¹å¯ä»¥æåæ(2)çæ¹æ³æ¥è¯æç»è®ºï¼ä¸ºæ¤å¯å
ä½â BAEçå¹³å线AG交边BCäºGï¼åä½GHâ¥AEäºHï¼éè¿è¯æâ³ABGââ³AHGç¥AB=AH=BCï¼ä¸é¢è®¾æ³è¯æHE=CEå³å¯ï¼è¯·åå¦ä»¬èªè¯ï¼
ç» ä¹ å
1ï¼å¦å¾2-10æ示ï¼ADï¼EFï¼BCç¸äº¤äºOç¹ï¼ä¸AO=ODï¼BO=OCï¼EO=OFï¼æ±è¯ï¼â³AEBââ³DFCï¼
2ï¼å¦å¾2-11æ示ï¼æ£ä¸è§å½¢ABCä¸ï¼Pï¼Qï¼Råå«ä¸ºABï¼ACï¼BCçä¸ç¹ï¼M为BCä¸ä»»æä¸ç¹(ä¸åäºR)ï¼ä¸â³PMS为æ£ä¸è§å½¢ï¼æ±è¯ï¼RM=QSï¼
3ï¼å¦å¾2-12æ示ï¼P为æ£æ¹å½¢ABCD对è§çº¿BDä¸ä»»ä¸ç¹ï¼PFâ¥DCï¼PEâ¥BCï¼æ±è¯ï¼APâ¥EFï¼
4ï¼å¦å¾2-13æ示ï¼â³ABCçé«ADä¸BEç¸äº¤äºHï¼ä¸BH=ACï¼æ±è¯ï¼â BCH=â ABCï¼
5ï¼å¦å¾2-14æ示ï¼å¨æ£æ¹å½¢ABCDä¸ï¼Pï¼Qåå«ä¸ºBCï¼CDè¾¹ä¸çç¹ï¼â PAQ=45°ï¼æ±è¯ï¼PQ=PB+DQï¼
6ï¼å¦å¾2-15æ示ï¼è¿â³ABCç顶ç¹Aåå«ä½ä¸¤åºè§â Båâ Cçè§å¹³å线çå线ï¼ADâ¥BDäºDï¼AEâ¥CEäºEï¼æ±è¯ï¼EDâBCï¼
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