高一数学立体几何题目（希望得到详细解法，以及诀窍或是方法）

Question

一个四面体的顶点都在一个球面上，已知这个球的表面积为3π，则正四面体的边长为多少？

Answer 1

1.由球的表面积可以算出球半径
2.因为是正四面体，所以外心（什么心都是）就是正四面体的中心，通过画图可以得到边长和中心到顶点距离间的关系（我记得应该有根号3的）
3.由半径和这个关系可以解出边长
明白吗？如果需要，我再说具体过程吧追问

这个四面体的中心是圆的圆心吗？

追答

是的

追问

我就是按圆心来算的，正四面体的话，顶点与中心的连线垂直于底面，利用勾股定理算边长，但就是算不出答案来。答案是根号2

追答

不知道你学过这个结论没有：一个正四面体可以补成一个正方体（百度一下可以看到示意图），补完后四面体边长是正方体的面对角线，外接球的直径是正方体的角对角线，通过这个关系很好算答案，就是根号2。所以方法肯定是对的，你可能某一步算错了

Answer 2

正四面体边长为a
法一：设正四面体P-ABC，作PH⊥底面ABC，垂足H，作CD⊥AB，H在CD上，H是正三角形ABC的外（内、重、垂）心，
CH=2CD/3=(a√3/2)*(2/3)=√3a/3,
PH=√(PC^2-CH^2)=√6a/3,
设O点是外接球心，它在PH上，PO=AO=R，R为外接球半径，
（PH-PO)^2+CH^2=CO^2,
(√6a/3-R)^2+(√3a/3,)^2=R^2,
R=√6a/4

法二：可以将正四面体放在正方体中，正方体的外接球即为此正四面体的外接球。
设正四面体的棱长为a，这正方体的棱长为a·sin45°，正方体的外接球的半径是其棱长的二分之根号三倍，所以公共的外接球的半径是四分之根号六a。R=√6a/4(a为正四面体的棱长)

∴4（6根号a/4π）=3π
∴a=根号2

这是个结论，正四面体的外接球半径为R=√6a/4，内接球为√6a/12.
最后的答案我可能算错了O(∩_∩)O~本回答被网友采纳