把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC =4 cm．（1）求线段DF

Question

把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC =4 cm．（1）求线段DF的长；（2）连接BE，求证：四边形BFDE是菱形；（3）求线段EF的长．

Answer 1

（1） ；（2）证明见解析；（3） .

试题分析：（1）由折叠知，BF=DF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求得，DF的长； （2）利用翻折变换的性质得出∠2=∠3，BE=DE，BF=DF，进而利用等腰三角形的性质得出三条边相等即可； （3）本题可利用相似解决，由于折叠，可知BD⊥EF，利用直角三角形相似的性质：对应边成比例求得结果． （1）由折叠知，BF=DF． 设BF=x,则DF=x，CF=4-x,CD=AB=3 在Rt△DCF中，利用勾股定理得：x 2 -(4-x) 2 =3 2 解得：x= . （2）连接BE， ∵AD∥BC， ∴∠1=∠2， ∵将一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和D重合， ∴∠2=∠3，BE=DE，BF=DF， ∴∠1=∠3， ∴ED=DF=DE=BF， ∴四边形EBFD是菱形； （3）连接BD，得BD=5cm，利用 ，易得EF= cm.