椭圆面积 高数 极坐标 设x=acos y=bsin 用极坐标的二重积分来算椭圆的面积 怎么算呢

Question

如题所述

Answer 1

用二重积分计算椭圆面积，则用广义极坐标很容易，就像上楼所说的那样。
如果一定要用参数方程，那么建议你用定积分，也很容易。S=4∫（0，a）y
dx
再将x=acosθ
和y=bsinθ代入式子，有
S=-4a∫（π/2,0）sinθ√（b²-b²cos²θ）dθ
=4×(πab/4)
=πab

Answer 2

变量替换是x＝arcosθ，y＝brsinθ，0<=r<=1，0<=θ<=2pi。这是广义极坐标变换，比较容易。
若不用这个，x＝rcosθ，y＝rsinθ，则积分区域是
r^2cos^2θ/a^2+r^2sin^2θ/b^2<=1对应的r是
0<=r<=1/根号(cos^2θ/a^2+sin^2θ/b^2)，不是你说的上限。
你再计算一下。不过肯定是比较麻烦的。