第1个回答 2014-03-07
正四棱锥有8条棱，棱长为a，底边是正方形，侧面是正三角形。
如果有一个外接球，那么它的球心到正四棱锥5个顶点的距离一定相等，且都是r。
可想而知，这个球心在正四棱锥底面的投影一定是在正方形的中心，(因为要对称)。
话分两头说，这个中心和顶点的连线恰是正四棱锥的高h，而且，所谓的球心也一定在这条高上。那个中心(正方形底面的中心)到底面4个顶点的距离均是(√2)a/2，棱长为a，那么和高h组成的直角三角形，可以算出高h=√{a²-[(√2)a/2]²}=√(a²/2)=(√2)a/2。
现在，球心到顶点的距离是r，在刚才的解析的那个直角三角形中，球心把高h那条直角边分成两份，球心到底面的距离l=h-r=(√2)a/2-r，球心、正四棱锥底面的顶点以及底面的中心组成的三角形，斜边长为r(球心到四棱锥底面顶点的距离)，直角边分别为(√2)a/2和l=(√2)a/2-r，勾股定理有：
r²=[(√2)a/2]²+[(√2)a/2-r]²
r²=a²/2+a²/2-(√2)ar+r²
a²-(√2)ar=0
a≠0，∴a-(√2)r=0，r=(√2)a/2(这个结果说明正四棱锥外接圆的球心就是底面的中心。)
现在a=6，即r=3根号2