如何判断向量的线性相关和线性无关性

Question

如题所述

Answer 1

1、定义法

令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。

2、向量组的相关性质

（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；

（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；

（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；

（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。

（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。

扩展资料：

线性重要性质

1、向量组B=(β1，β2，……，βm)能由向量组A=(α1，α2，……，αm)线性表示的充要条件是矩阵A=(α1，α2，……，αm)的秩等于矩阵(α1，α2，……，αm，B)的秩。

2、向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量A的秩。反之不一定成立。

3、零向量可由任一组向量线性表示。

4、向量组α1，α2，……，αm中每个向量都可由向量组本身线性表示。

5、设α1，α2，……，αm线性无关，而α1，α2，……，αm，ß线性相关，则β可由α1，α2，……，αm线性表示，且表示是唯一的。

Answer 2

1、显式向量组：将向量按列向量构造矩阵A，对A实施初等行变换，将A化成梯矩阵，梯矩阵的非零行数即向量组的秩向量组线性相关＜＝>向量组的秩＜向量组所含向量的个数。

2、隐式向量组：一般是设向量组的一个线性组合等于0，若能推出其组合系数只能全是0，则向量组线性无关，否则线性相关。

向量的运算律

1、交换律：α＋β＝β＋α

2、结合律：（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）

3、数量加法的分配律：（λ＋μ）α＝λα＋μα

4、向量加法的分配律：γ（α＋β）＝γα＋γβ

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Answer 3

1. 显式向量组
将向量按列向量构造矩阵A
对A实施初等行变换, 将A化成梯矩阵
梯矩阵的非零行数即向量组的秩
向量组线性相关 <=> 向量组的秩 < 向量组所含向量的个数

2. 隐式向量组
一般是 设向量组的一个线性组合等于0
若能推出其组合系数只能全是0, 则向量组线性无关
否则线性相关.

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Answer 4

列出矩阵，对矩阵进行等效变换，最后化简成上三角矩阵形式，如果有的行全部元素为零，则线性相关，否则线性无关

Answer 5

直接按照定义就可以了，或者把他们做成矩阵，如果对应的行列式值为零就说明是线性无关性否则是线性相关