概率问题，X与Y独立同分布于正态分布，U=X+Y V=X-Y。。老师说U和V独立 为什么？

Question

概率问题，X与Y独立同分布于正态分布，U=X+Y V=X-Y。。
老师说U和V独立 为什么？

要详细解释

Answer 1

因为X,Y相互独立
X+Y=U，X-Y=V
U,V 的等高线分布是相互垂直的
画个平面等高图就知道

证明：
f(x,y)=(1/2πσ²)e^({-(x-μ)²-(y-μ)²}/2σ²)

f(u,v)=f(x(u,v),y(u,v) *|(dx/du) (dx/dv)|
|(dy/du) (dy/dv)|

x=(u+v)/2
y=(u-v)/2

-(1/2)²-(1/2)²=-1/2

f(u,v)=1/2f(x,y)
=(1/4πσ²)e^({-x²-y²+2μ(x+y)-2μ²}/2σ²)
=(1/4πσ²)e^({-(u²+v²)/2+2uμ-2μ²}/2σ²)
=(1/4πσ²)e^({-u²-v²+4uμ-4μ²}/4σ²)
=(1/4πσ²)e^({-(u-2μ)²-v²}/4σ²)

fu(u)={1/[2o根号(π)]} e^(-(u-2μ)²/4σ²) N(2μ,2σ²)
fv(v)={1/[2o根号(π)]} e^(-v²/4σ²) N(0,2σ²)
可得
fu(u)fv(v)=f(u,v)

从相关系数=0不能推出独立
只能从独立推出相关系数=0
----------------------------------------------------------------
可以佐证：
Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X,X)-Cov(Y,Y) 类似平方差
=D(X)-D(Y)=0
但这个不足以推出独立追问

我知道UV的相关系数可以算出等于0
但是相关系数等于0不能推到独立啊！！
课本也说了。。只有二维正态的X和Y 不相关才能推到独立

本题并不知道UV满足二维正态

追答

fu*fv=f (u,v)

我不是给你证了嘛

你难道只看最后那段题外话

我也没有将(U,V)联合分布直接按二维正太，用的是雅可比推倒对任意分布适用

但是U或V都是正态分布可以推

追问

是不是X与Y独立同分布于正态分布，则ax+bY 与cx+dY一定独立？？

追答

要a/b=-d/c

就和垂直差不多

追问

你是数学系的吗？这个结论是一个定理么？a/b=-d/c？a/b=d/c行么？
我的大学概率书上没写，，哎

追答

a/b=d/c一般是不行的，这样两个集 关於 x=y对称，当 a/b=d/c=1时会完全重合，不能满足，除非a=d=0的时候。
记得前提都是X,Y相互独立同分布
编书其实挺不容易的，自己会的东西太多反而一下子说不全，又怕说得太快读者跟不上。

追问

你给我一个正确的结论吧
，X与Y独立同分布于正态分布
什么情况下 ax+bY 与cx+dY一定独立？

只要a/b=-d/c？？？？

追答

这个没错，必须注意前提是独立同分布

Answer 2

U与V也独立，且都是正态分布