拉格朗日乘数法求解

Question

如题所述

Answer 1

设水箱的长、宽、高分别为 x，y，z，则水箱容积V=xyz，
焊制水箱用去的钢板面积为S=2(xz+yz)+xy，这实际上是求函数S(x，y，z)在条件xyz-V=0限制下的最小值问题。
应用拉格朗日乘法，令 L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)'；
dLdx=diff(L,'x')，
dLdy=diff(L,'y')，
dLdz=diff(L,'z')，
dLdv=diff(L,'v')，
dLdx =2*z+y+v*y*z，
dLdy =2*z+x+v*x*z，
dLdz =2*x+2*y+v*x*y，
dLdv =x*y*z-V，
令 L 的各偏导数等于零，解方程组求稳定点 s₁='2*z+y+v*y*z'；s₂='2*z+x+v*x*z'；s₃='2*x+2*y+v*x*y'；s₄='x*y*z-V'；
[v,x₀,y₀,z₀]=solve(S₁+S₂+S₃+S₄)，
v =[-2*2^(2/3)/V^(1/3)][ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)+1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V] [ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)-1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V]，
x₀=[2^(1/3)*V^(1/3)]，
y₀=[2^(1/3)*V^(1/3)]，
z₀=[1/2*2^(1/3)*V^(1/3)]，
这里显然只有实数解才有意义， 所以 L 的稳定点只有下面一个
y=x=∛(2V);z=∛(2V)/2;
又已知所求的问题确实存在最小值，从而解出的稳定点就是最小值点， 即水箱长宽与为高的2倍时用钢板最省。