向量组线性相关性的证明题

Question

设 a1，a2,...,am 为一个向量组，且a1≠θ,若每一向量ai（i>1）都不能由 a1，a2,...,ai -1线性表示，证 明：a1，a2,...,am 线性无关。

Answer 1

a1≠θ。｛a1｝线性无关,顺次添加向量至最大线性无关组｛a1,a2.……，at｝
如果t＝m。任务已经完成。假如t＜m.则｛a1,a2.……，at｝线性无关。
而｛a1,a2.……,at,a（t+1）｝线性相关。
存在不全为零的k1,k2,……, k（t+1）.使得
k1a1+k2a2+……+ktat+k（t+1）a（t+1）＝0
假如k（t+1）＝0，则k1a1+k2a2+……+ktat＝0。且k1,k2,……, kt不全为零。
得到｛a1,a2.……，at｝线性相关。不可，所以k（t+1）≠0
a（t+1）＝[-k1/k（t+1）]a1+[-k2/k（t+1）]a2+……+[-kt/k（t+1）]at.
这与“每一向量ai（i>1）都不能由 a1，a2,...,ai -1线性表示”矛盾。
所以“假如t＜m”不能成立。只可t＝m,即｛a1，a2,...,am｝ 线性无关。